零点定理是啥 零点定理是啥意思

零点定理是啥

零点定理”是函数的一个定理，还有同名电影。我们还可以利用闭区间套定理来证明零点定理。

【函数】

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号(即f(a)× f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ<b)使f(ξ)=0。

证明:不妨设f(a)<0,f(b)>0.令

E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.

由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，

存在ξ=supE∈[a,b].

下证f(ξ)=0(注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).).事实上，

(i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知

存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,

这与supE为E的上界矛盾;

(ii)若f(ξ)>0,则ξ∈(a,b].仍由函数连续的局部保号性知

存在δ>0,对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ,

这又与supE为E的最小上界矛盾。

综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。

延伸阅读

0点存在性定理是什么

零点存在性定理是:

如果函数y = f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)＜0那么，函数y = f (x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c) = 0这个c也就是方程f (x) = 0的根。

定理的含义：

（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点

（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号

（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数

连续函数的零点定理

1.零点定理：函数在闭区域连续，如果端点处取值乘积小于零，则在区域之内，存在一个点的函数值为零。f(ε)=0

2.介值定理：介值定理和最值定理有关，当函数值存在最大值和最小值，对于最大值和最小值之间的数，在定义域上可以取到某个数，使得其函数值为最大值和最小值之间的数。

零点定理是什么

定理（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ

函数零点的判定定理

1、函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根．

特别提醒：

（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．

（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）=x2-3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．

（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．

2、函数零点个数的判断方法：

（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

特别提醒：

①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x+1=0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x+1在[0，2]上只有一个零点；

②函数的零点是实数而不是数轴上的点．

（2）代数法：求方程f（x）=0的实数根．

高一数学零点定理

　　一、零点的定义与判定定理

　　1、函数零点的定义：对于函数 y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

　　2、函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

　　3、函数零点的分类

　　(1) 变号零点：零点附近两侧的函数值异号

　　(2) 不变号零点：零点附近两侧的函数值同号

　　4、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

　　5、判断函数零点个数的常用方法

　　(1) 解方程f(x)=0，方程f(x)=0的不同解的个数就是函数f(x)零点的个数。

　　(2) 直接作出函数f(x)的图象，其图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点的个数。

　　(3) 化函数的零点个数问题为方程g(x)=h(x)的解的个数问题，在同一坐标系下作出y=g(x)和y=h(x)的图象，两函数图象的交点个数就是函数f(X)的零点的个数。

　　(4) 若证明一个函数的零点唯一，也可先由零点存在性定理判断出函数有零点，再证明该函数在定义域内单调。

　　二、零点的定义相关例题

　　判断函数f(x)=x?3+ln x的零点个数___

　　答案：只有一个零点

　　解析：令x?3+ln x=0，则ln x与y=?x+3的图像只有一个交点，即函数f(x)=x?3+ln x只有一个零点。