讯阳文艺网三角函数值对照表
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特殊角的三角函数值
15°的四种三角函数值.
30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值,我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出.
同样, 15°角的三角函数值,也可以利用直角三角形的性质将其推出.
如图所示.在△ABC中∠C=90°, ∠ABC=30°,延长CB到D,使BD=BA,则∠D=∠DAB=∠ABC/2=15°.
设AC=1,
则AB=2,BC=√3,BD=2,
所以CD=CB+BD=2+√3,
所以AD=√(AC2+CD2)
=√[1+(2+√3)2]
=√(8+4√3)
=√6+√2
所以sin15°=AC/AD
=1/(√6+√2)
=(√6-√2)/4,
cos15°=CD/AD
=(2+√3)/(√6+√2)
= (√6+√2)/4,
tan15°=AC/CD
=1/(2+√3)= 2-√3
注:将15°角的三角函数求值问题,通过构造适当的三角形,将它转化为30°角的三角函数问题.
这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法,是我们研究解决新问题的重要方法.
根据互余三角函数关系式,我们很容易得到75°角的四种三角函数值.
练习:求22.5°角的正切值.
解析22.5°=45°/2,
所以设法构造一个含22.5°角的直角三角形,用定义求值.?
如图,在△ABC中∠C=90°, ∠ABC=45°,延长CB到D,使BD=BA,
则∠D=∠DAB=∠ABC/2=22.5°.
设AC=b,
有AB=√2b,
DC=DB+BC=(√2+1)b
故tan22.5°=AC/DC
=b/[(√2+1)b]
=√2-1
求sin18°的值.
解析:构造一个顶角A为36°的等腰△ABC,AB=AC,
如图,作内角平分线BD则∠ABD=∠DBC=36°,设AC=1,BC=x.
由于∠ABD=∠BAD=36°,
∠BDC=∠BCD=72°,
故CB=BD=DA=x,
而△ABC ∽△BDC?
(∠CAB=∠CBD=36°),
故AC/BC=BC/DC,故
再作AH⊥BC于H,
则∠CAH=18°,
注:本题所构造的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形,利用它可以求出半径为R的圆内接正十边形的边长.
完
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