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球的表面积与雅可比行列式
或许你曾在中学学过球的表面积公式和球的体积公式，你也可以轻松说出球的表面积为4πR ²，球的体积为4/3πR ³。证明这些公式，包括更基础的圆的面积公式也许并不是一个难题。
比如，二重积分可以用来求曲顶柱体的体积，想象一个高恒为1的柱体，那么二重积分在数值上就可以表示平面的面积。
S=∬dxdy
其中区域D={（x，y）|x² y²≤R }
现在我们只要能通过计算求出这个二重积分即可。但问题就在于怎么求。首先，我们观察积分区域。
很明显，它是一个圆。这里我们能够联想到坐标变换，如果能用极坐标表示这个积分就可以更容易地解决问题。然后我们设：
坐标变换（其中0<ρ<D/2, 0<θ<2π）
对于f（x,y），在坐标变换下写成f(ρcosθ, ρsinθ)的形式。但dxdy呢？这个该怎么改写呢？能直接写成dρdθ的形式吗？
要了解这两者的关系，就要了解坐标变换引起的面积变换了多少。一个平面点集在另一个平面上的映射会引起映射的图案和原本图案的面积变化。
我们先来观察两个不同的区域，一个是变化前的xy平面，另一个是投影后的uv平面。xy平面与uv平面之间有下述关系：
另一个复杂的变化是，它们的区域面积发生了变化。我们可以在xy平面上取一个小的矩形面积为δ₁，它在uv平面上的投影面积为δ₂，它们之间的关系为：
其中：
J（u，v）被称为雅克比行列式。|J（u,v）|为映射f引起的δ领域内的面积膨胀或缩小的比例，这就是雅克比行列式在二元映射中的几何意义。
这样，我们就可以得到等式：
∬dxdy=∬ |J(ρ，θ)|dρdθ
计算雅克比行列式，可以得到J（ρ，θ）=ρ，代入后根据映射的区域D‘={(ρ，θ)| 0≤ρ≤R, 0≤θ≤2π}}求出圆的面积为πR ²。当然，不用坐标变换，我们也可以将x，y分离，将圆看成x型区域求得圆的面积。
——数学科普——
但当我们涉及到坐标变换时，总是避不开对于面积变化的讨论，即计算雅克比行列式的值。但你有没有想过，为什么雅克比行列式能够表示映射面积的膨胀或缩小的系数呢？
在讨论雅克比行列式的证明过程之前，我们先来看看，它是如何证明简单的线性变换中面积元的缩放系数的。例如在我们高中接触过的斜二测画法中就有体现。
我之所以选择斜二测画法来描写雅克比行列式的作用，是因为我们不仅可以用雅克比行列式表示它的面积变化，还可以用更普通的行列式来表示它的面积变换。平常我们画图，在纸上只能简单的画出一个一个方向上的平面图案。要是在三维空间里，为了让这个物体显得更“立体”些，我们就会采取特殊的画法。其中就包括“斜二测画法”。
这个素描作品也参照了斜二测画法
斜二测画法
我们先回顾下斜二测画法的两个条件：一是保持x轴不变，y轴由原来的与x轴成90°变成45°；二是原本在y轴方向的线段长度变成原本的一半。
在这两个条件下，我们很容易能计算出一个以（0,0），（0.1）和（1.0）为三个顶点的三角形在斜二测画法平面中的面积。
我们称原本的平面为xy平面，斜二测画法平面为uv平面，做原本的三个顶点只有xy平面的（0.1）位置改变为uv平面上的 
。做高可知三角形面积由变为了，面积缩小了。可见要是雅克比行列式表示面积的缩放系数，那在这个坐标变换中，雅克比行列式的值也应该是 
。
我们先不考虑雅克比行列式，先用矩阵来表示这个坐标变换。我们在xy平面任取两个不平行的向量，i=（1.0），j=（0.1）。将i、j向量作为列向量，用矩阵表示为 
，在uv平面上，这个矩阵就可以写成 
，求这个矩阵的行列式便是面积的缩小系数。
要是用雅克比行列式来解释，xy变换为uv平面的线性关系为，用xy表示uv可得，根据雅克比行列式的公式可得J（u，v）= 
，即是面积缩小的系数。
要是在更一般的线性变换中，我们可以将xy平面中的面积分为一个个很小的矩形dxdy，在变换后的uv平面上，就是一个平行四边形dudv，平行四边形的面积是其中一个斜边三角形的两倍。再将三个顶点的坐标代入解析几何中的求面积的公式中，做几步变换就能得到雅可比行列式了（然而更一般的坐标变换不一定是线性的，我们也可以近似看成平行四边形）。
