连续是什么意思高等数学(连续和一致连续的区别)

高等数学连续的定义?

连续的定义

在数学中,连续是函数的一种属性。直观上来说,连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候,输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义,则这个函数被称为是不连续的函数(或者说具有不连续性)。

常用的连续性的最根本定义是在拓扑学中的定义,在条目连续函数 (拓扑学)中会有详细论述。在序理论特别是域理论中,有从这个基础概念中得出的另一种抽象的连续性:斯科特连续性。

一致连续和连续有什么区别?

一致连续(uniform continuity)和连续(continuity)是数学中两个相关但有区别的概念。

连续是指函数在某个区间内的每一点都存在极限,并且函数在该区间内没有跳跃或断裂。简而言之,连续函数在局部上没有间断的部分。数学上,如果对于函数 f(x) 和给定的 x 值,在 x 的领域内,对于任意给定的 epsilon(ε),存在 delta(δ),使得在距离 x 不超过 delta(| x – y | ≤ δ)的所有 y 值上,f(y) 和 f(x) 之间的差值不超过 epsilon(| f(y) – f(x) | ≤ ε),那么函数 f(x) 在 x 处是连续的。

一致连续是连续的加强版,它在连续的基础上要求函数的整个定义域上都具有一致的性质。简而言之,一致连续函数在整个定义域上不存在局部间断的部分。数学上,如果对于函数 f(x),存在一个 delta(δ),使得对于定义域上的任意 x 和 y 值,在距离不超过 delta 的所有点对 (x, y),都有 | f(y) – f(x) | ≤ ε,那么函数 f(x) 可以称为一致连续。

总结起来,连续性表达的是函数在每个点上的无间断性,而一致连续性则表达的是函数在整个定义域上的无间断性。

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