初二下学期几何是个难点，其中平行四边形和特殊平行四边形是学生感到比较困难的地方。本篇内容主要讲取菱形的证明方法。

一、基本知识复习

证明菱形有两大类四种方法

1、通过边来证明菱形

• 四条边都相等的四边形是菱形
• 一组邻边相等的平行四边形是菱形

2、通过对角线来证明菱形

• 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
• 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【注意】： 判定一个图形是菱形，首先要注意判别对象是一个四边形还是一个平行四边形。

• 如果是一个平行四边形添加的条件就少，只需一组邻边相等或对角线垂直。
• 所判定的对象是普通四边形所添加的条件就多，需要四边相等或对角线垂直平分。

二、实战演习

（一）利用一组对边相等的平行四边形是菱形证明

• 例1、如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．

求证：四边形ABCD为菱形；

【分析】由角边角证明△OAD≌△OCB，从而OD＝OB，所以四边形ABCD是平行四边形，再证明∠CBD＝∠CDB，得到BC＝DC，从而证明四边形ABCD是菱形；

【反思与小结】本题利用全等证明一组对边平行且相等从而证明四边形为四边形。再利用平行线+角平分线出等腰三角形证明出一组邻边相等进而证明出菱形。

• 例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，过C作CF∥AB交DE延长线于点F，连接AF、DC．

求证：（1）DE＝FE；

（2）四边形ADCF是菱形．

【分析】（1）由“AAS”可证△AED≌△CEF，可得DE＝EF；

（2）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形ADCF是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD，即可证四边形ADCF是菱形．

【反思与小结】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是一个非常重要的定理，看到题目中有中点，有直角就要考虑用这个定理解决问题。

（二）利用对角线互相平分的平行四边形是菱形证明

• 例3、已知：如图平行四边形ABCD中，点O是AC的中点，过点O画AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．

【分析】由平行四边形的性质可得AE∥FC，由角边角可证△AOE≌△COF，可得EO＝OF，可证四边形AFCE是平行四边形，又因为对角线互相平分，可证四边形AFCE是菱形．

• ​例4．如图，已知AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD、BC于点E、F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）连接AF、CE，当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？请说明理由．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由角边角即可证出。

（2）由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE＝CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形．

【反思与小结】第二问是一个条件开放式问题，在思考的时候从要满足的结论四边形AFCE是菱形入手思考。这也是条件开放式问题的一般思考方法。

（三）利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明

• 例5．老师布置了一个作业，如下：

已知：如图1▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O

求证：四边形AECF是菱形

某同学写出了如图2所示的证明过程，老师说该同学的作业是错误的，请你解答下列问题：

（1）能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；

（2）请你给出本题的正确证明过程

【分析】（1）EF是AC的垂直平分线，但EF并没有被平分，所以是错误的

（2）证明全等三角形，得出EO＝FO，证明出对角线垂直平分证明结论．

【反思与小结】利用对角线互相垂直平分证明菱形时，要注意互相二字。只有一条对角线被平分是不行的。

（四）利用四边相等的四边形是菱形证明

• 例6．已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CE＝12，∠FCE＝60°，∠AFE＝90°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径做弧，交EF于点B，AB∥CD．

求证：四边形ACDB为△CFE的亲密菱形；

【分析】先根据四边相等的四边形是菱形证明图形是菱形，再根据亲密菱形的定义证明即可。

【反思与小结】根据四边相等的四边形是菱形证明图形是菱形时，一定要注意证明四边相等，缺一不可。有的同学在证明时，只证三条边相等，这是错误的。

• 例7、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．

求证：四边形ABFC是菱形；

【分析】根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到四边相等从而证明图形是菱形。

【反思与小结】圆周角定理和中垂线定理是解决这个问题的关键，在一些复杂题目中，综合运用各种定理，找出基本图形是解决几何问题的难点。

三、积累反思

菱形的证明是四边形问题中的一大难点，方法多，比较接近，而且与矩形的判定方法容易混淆。在判定菱形时，还要与平行四边形的判定结合在一起进行，所以综合性强。正确分解图形，合理选择方法是证明此类问题的关键。