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啥是无理数与有理数?
还在上小学的8岁表妹在上数学课时，被数学老师所讲的无理数、有理数所迷住了，可是怎么听也没听懂…
于是在放学后，急冲冲地跑回家问超模君一堆看似深奥的问题。
8岁表妹：“哎呀呀！超模君，今天老师给我们讲了无理数与有理数，但我没怎么听懂呀？”
超模君：“你咋还听不懂了呢？？这么简单的问题你确定你没搞懂吗？”
8岁表妹：“人家才8岁，不会很正常好吗？你堂堂一数学博士能给我讲明白了，那才算你有本事！”
超模君：“那么先来解释一波无理数吧！首先，无理数，是“没有规律”的数字，就类似于一块地皮上没有规律、杂乱生长的小杂草一样。”
8岁表妹：“为什么要称之其为“没有规律”呢？？？”
超模君：“最主要是因为无理数都是无限不循环小数，其小数位处是没有任何循环规律的！就比如5.8531497316……其后面的小数没有任何规律，像这类数字，就被称为无限不循环小数！”
8岁表妹：“那无理数有哪些类型嘛？”
超模君：“其实常见的无理数有非完全平方数的平方根、π(圆周率约等于3.141592654……)、e(自然常数约等于2.718281828……)，而这里的π和e也属于超越数的范畴！”
8岁表妹：“哦，原来无理数有那么多类型的嘛！那超越数又是什么呢？”
超模君：“超越数，不是代数数的数，并不能由任何整系数多项式方程表达出，比如，α=0.110001000000000000000001000……就已经由法国数学家刘维尔证明了只能由…这个式子来表达！”
最早发现无理数的人是毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯，他也算是一个传奇人物！
图片源自百度百科
在公元前500年时，希伯索斯就发现一个惊人的数学秘密：一个正方形的对角线的长度可能会是不可公度的。
就比如说一个正方形的边长为1，那么它的对角线长度是多少？
相信小学就学过勾股定理的大家很容易就可以求出其对角线长度为√2，√2是具有不可公度性质的，并不能直接在数轴上表现出来！
在当时的时代背景下，毕达哥拉斯在毕氏学派的成员里是“真理的化身”，学派成员对他是像神一样崇拜，绝对信奉其教诲，而这样的不可公度性就与当时毕达哥拉斯学派的“万物皆可数”的哲理大不相同，对毕达哥拉斯的学派地位有着很大的冲击影响
于是在一个风雨交加的夜晚里，希伯索斯在一艘海船上被抓获，当时的船在巨浪中剧烈地摇晃着，海浪与雨水轮番冲打着夹板，只能听见震耳欲聋的雷电在耳边呼啸而过。
而这一位证明了无理数的数学巨人，被七、八个毕氏学派的成员压倒在地，无力动弹，这些平日里都是文质彬彬的数学家们为了拥护毕氏学派的光辉，露出了自己狰狞的一面
“只要你承认无理数不存在！我们就饶你一命！”一位数学家怒吼着
“√2就是无理数，真理可以被质疑，但时间终究会证明它是对的！”希伯索斯坚硬地回答到。
“直接把他扔下海里吧，别纠结了，再这么下去也只是徒劳。”最终一位年老的毕氏学派拥护者说到。
就这样，希伯索斯被毫不留情地扔进了深不见底的大海里。
在后来的历史发展里，希伯索斯的发现，就让人们认识到原来在数轴上，并不是有理数的天下。而在数轴上还存在一系列的空隙，这些空隙就是无理数的身寸之地。
关于有理数与无理数的故事还有很多很多，等你长大点再告诉你更多的故事！
8岁表妹：“那无理数讲完了，有理数呢？”
超模君：“哈哈哈哈哈不着急，我现在就告诉你！”
而其实有理数，就是整数与分数的统称。
整数是包括正整数、负整数以及0的一个集合，算是一个庞大的集合！
有理数范畴里的分数可以写成有限小数以及无限循环小数这两种模式！
比如2.876以及2.777777……(后面全是7的循环)就是有限小数以及无限循环小数！
超模君：“这下你懂了啥是有理数啥是无理数了吧？小表妹？”
8岁小表妹：“懂啦懂啦！那怎么证明一个数是无理数呢？”
超模君：“好吧，那我现在来讲讲证明方法！”
无理数的证明方法
其实在欧几里得的《几何原本》中就曾提及到一种无理数的证明方法，即是要证明√2是无理数。
要想证明这个论题，就得先尝试使用反证法，那咱们就先假设√2是有理数吧！
而有理数可以用分数来表示，那么就先
那么在等式两边平方可得
移项可得
而一定为偶数(2乘以任何非0数均为偶数)故就一定为偶数，则p为偶数令则那么所以q一定为偶数，那么p与q均为偶数而p、q均为偶数，且p与q互质，将产生矛盾那么√2一定是无理数！
无理数在数轴上的表示方法
8岁表妹：“那居然无理数是在数轴上有理数不能表示的空隙，那无理数要怎么在数轴上表示呢？”
超模君：“啊哈！其实这个问题就得利用圆规的性质啦！”
超模君：“我来教你怎么操作哈哈哈哈！”
首先要准备圆规、尺子、铅笔就行！
比如说我们要表示√2
那就得利用勾股定理的方法来画！
先在数轴上找到1，然后在1处垂直画一长度为1的高，那么斜边为√2！
然后利用尺子，把斜边相连，再利用圆规把√2在数轴上表述出来
图片源自百度百科
大概作图就像上面那样！
e与π相加是无理数还是有理数呢？
8岁表妹：“啊！了解啦！那其实e与π相加是啥结果吗？”
超模君：“我也不太清楚！让我们来探讨一下吧！”
我们知道其实e是无理数，π也是无理数，而且e与π都是超越数，而超越数的定义就是不能作为有理系数多项式方程的根的数。
而有理系数多项式方程可以表现为(其中为有理数，i=1,2,3,…,n)
但在我们的数学世界里，e与π均可以用无穷级数的式子来表现：
可是目前在数学界领域里，还没有人知道e与π相加的结果是无理数还是有理数，因为这个证明有可能牵扯到一大顿需要论证的东西。
那么我们要如何缩小范围来探究e与π相加是有理数还是无理数呢？
那就得考虑到超越数的问题！而利用超越数不可以为有理系数多项式方程的解(其中为有理数，i=1,2,3,…,n)
那就加入几个数来探究一下这个问题吧！
我们人类研究数学领域中，目前暂时不清楚。
这四个数字是有理数还是无理数，但是我们可以证明这四个数字最多只有一个有理数！
e+π、e-π、eπ、e/π是啥数的奇妙证明
也就是说，中要么有一个有理数，要么全都是无理数，而要证明这一点，就得用到超越数的性质！
而在这四个数字中，可以抽出对数字，我们先找一对数来证明试试看。
比如我们假设e+π与eπ与都是有理数
那么e与π都可以写作有理方程：的两个实数根
因为韦达定理可见两根之和为；两根之积为
而超越数e与π是不能由有理系数二次方程来表达的！故与超越数的条件相矛盾。
再比如我们假设e+π与e/π都是有理数
那么是有理数(因为可写成分式的形式)
而这会与π是无理数相矛盾，那么条件不成立。
8岁表妹：“啊哈，那这样就可以排除几个选项啦！也就是说这样就可以缩小范围来探讨e+π是无理数还是有理数啦？”
超模君：“对滴！理论上是这样的！”
国外主流数学论坛对e+π结果的观点
而其实，在CornellUniversity就曾经发表过一个观点，论证了eπ是无理数。
图片源自CornellUniversity
而在国外知名数学论坛mathoverflow上却指出其证明是错误的！
而且强调其证明过程是属于低级错误！
图片源自mathoverflow
至今为止，仍没有人可以证明e+π是有理数还是无理数！
闲聊与奇思妙想
那么关于e+π是无理数还是有理数的证明，而其现实仍还在探究中，尚未被解决。
超模君：“小表妹！你还有什么方法吗？”
8岁表妹：“目前来说也还没有方法可以证明了呀！”
8岁表妹：“可能要等我再长大些才可以证明这个问题啦！”
超模君：“啊哈哈哈哈，都那么多年了，你数学功底也是应该提高了！”
写在最后
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作者简介：超模君，数学教育与生活自媒体博主，新晋理工科奶爸。出版过《芥子须弥·大科学家的小故事》；《数学之旅·闪耀人类的54个数学家》；《漫画数学·闪耀人类的数学家》；《薛定谔的猫·漫画大科学家的小萌宠》。后续数学文化创意多多，欢迎关注认识！本文系网易新闻·网易号“各有态度”特色内容参考链接：https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E7%90%86%E6%95%B0/105044?fr=aladdinhttps://baike.baidu.com/item/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0/105546?fr=aladdinhttps://baike.baidu.com/item/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0/518789转载请在公众号中，回复“转载”少年数学家视频号
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